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    目前，由于鉛酸蓄電池的經(jīng)濟(jì)性和技術(shù)成熟性，使其成為豐要的儲能設(shè)備。為了達(dá)到優(yōu)化蓄電池電力系統(tǒng)效率的目的，對蓄電池容量的實(shí)時(shí)監(jiān)控必不可少。而由于蓄電池的非線性特性，反映其容量的關(guān)鍵參數(shù)荷電狀態(tài)(SOC)，作為電池的內(nèi)特性不可能直接進(jìn)行測量。SOC數(shù)值只能使用工作電壓、電流等直接測量得到的外特性參數(shù)估算獲得。

    本文使用最優(yōu)估計(jì)理論建立蓄電池的動(dòng)態(tài)工作模型，實(shí)現(xiàn)蓄電池SOC的實(shí)時(shí)估算。該動(dòng)態(tài)模型被劃分為兩個(gè)部分：第一部分是蓄電池?cái)?shù)學(xué)解析描述，即對蓄電池工作特性的開環(huán)描述；第二部分是加入動(dòng)態(tài)過程的描述，實(shí)現(xiàn)蓄電池工作特性的閉環(huán)描述。對于蓄電池的解析模型，較為通用的方式是建立描述輸入輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，通過實(shí)驗(yàn)來確定模型的某些參數(shù)，或者模型內(nèi)部的某些狀態(tài)量。然而，僅僅使用開環(huán)描述模型得到動(dòng)態(tài)輸出與實(shí)際的動(dòng)態(tài)情況常常存在偏差，這種誤差主要?dú)w咎于測量過程中的異常偏差。當(dāng)這種誤差出現(xiàn)時(shí)，只有閉環(huán)描述模型才能根據(jù)這些誤差對模型進(jìn)行調(diào)整。本文使用基于電化學(xué)理論的安時(shí)模型實(shí)現(xiàn)電池?cái)?shù)學(xué)解析描述，而動(dòng)態(tài)過程描述則使用帶有自矯正能力的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法。

    1 基于電化學(xué)的安時(shí)模型

    普通的安時(shí)計(jì)量法使用下式估算蓄電池的SOC。

    式中：s(0)為初始時(shí)刻的蓄電池SOC數(shù)值，若從充滿開始放電，其值可以設(shè)為1；s(t)為t時(shí)刻的SOC實(shí)時(shí)值；Q為蓄電池的標(biāo)稱容量；η為庫侖因子。通過調(diào)整庫侖因子可以滿足不同放電電流下的SOC計(jì)算。實(shí)際應(yīng)用中，庫侖因子多通過試驗(yàn)確定為常數(shù)或是關(guān)于放電電流I的函數(shù)。但是，蓄電池的標(biāo)稱容量不等于實(shí)際容量，且實(shí)際容量在使用中也會(huì)衰減。同時(shí)，確定庫侖因子過程中產(chǎn)生的誤差，也會(huì)影響到安時(shí)估算的精度。為了對上述問題進(jìn)行改進(jìn)，提高安時(shí)法 SOC估算的精度。本文使用電化學(xué)理論，構(gòu)造新的基于安時(shí)法的SOC估算模型。

    1.1 電解液活性物質(zhì)濃度損失函數(shù)

    蓄電池內(nèi)部電解液所含有的活性物質(zhì)，其濃度損失百分比可以表示為：

    式中：C*為初始濃度；C(t)為電解液中t時(shí)刻活性物質(zhì)的濃度；時(shí)間t的取值范圍[0，L]，L為放電總時(shí)間。

    當(dāng)使用蓄電池一維的電化學(xué)模型，根據(jù)電化動(dòng)力學(xué)理論，最終可以得到電解液活性物質(zhì)濃度損失百分比函數(shù)：

    式中：v為反應(yīng)中電子的數(shù)目；F為法拉利常數(shù)；A為電極的面積；D為擴(kuò)散系數(shù)。

    1.2 電化學(xué)安時(shí)模型

    由于電解液的活性物質(zhì)濃度和電池的SOC成正比的關(guān)系，設(shè)比例系數(shù)為M，可以直接得出電池t時(shí)刻的SOC解析表達(dá)式：

    若考慮電流值為I的恒流放電過程，放電截止時(shí)ρ(L)1，則可以得到以下等式：

    對于給定的恒流放電集合{I*，*=1，2，…，n}，可以使用最小二乘法得到最優(yōu)的α、β參數(shù)，其中：

    得到模型參數(shù)之后，為方便模型的實(shí)際應(yīng)用，使用積分的矩形近似方法改寫(4)式，用以獲得離散時(shí)間上的近似遞推模型，在間隔周期△t足夠小的情況下，遞推模型可以寫為：

    式中：sk表示k時(shí)刻的電池SOC的實(shí)時(shí)值；Ik表示k時(shí)刻的電池電流。對比式(1)的標(biāo)準(zhǔn)安時(shí)估算模型，可以發(fā)現(xiàn) α等于電池的標(biāo)稱容量Q，庫侖因子則由β 和放電時(shí)間k△t決定。從電化學(xué)角度分析，表達(dá)式(7)的括號中的第二項(xiàng)表示蓄電池中無法使用的總電量，當(dāng)β數(shù)值增加的時(shí)候，第二項(xiàng)趨向于零。因此，較大的β數(shù)值意味著蓄電池可以被看作理想儲能元件，所有充電電量都可以完全通過放電過程釋放。這是因?yàn)榇蟮?beta;數(shù)值表明更快的擴(kuò)散效應(yīng)，蓄電池電解液中的活性物質(zhì)可以更快的到達(dá)電極的表面。反之，小的β數(shù)值表明蓄電池儲能損失大，大量的充電電量無法在放電過程中釋放。

    2 擴(kuò)展卡爾曼濾波閉環(huán)估算模型

    改進(jìn)安時(shí)模型能夠較好地反應(yīng)電池的動(dòng)態(tài)特性，但這種蓄電池SOC計(jì)算方式只是一種開路的估算方式，存在著傳統(tǒng)安時(shí)計(jì)量法的缺點(diǎn)，即對電流測量中的測量偏差十分敏感，某一個(gè)時(shí)刻出現(xiàn)的測量偏差，可以影響到該時(shí)刻后所有的SOC估算值。如果將估算模型構(gòu)造成閉環(huán)反饋的模式，則可以自動(dòng)修正電流測量中的偏差，給出正確的SOC估算值。在(7)式遞推模型的基礎(chǔ)上，可以使用卡爾曼濾波器方法構(gòu)造出具有閉環(huán)特性的電池SOC估算模型。

    首先將(7)式作為蓄電池SOC估算系統(tǒng)的狀態(tài)方程，蓄電池SOC為狀態(tài)量，蓄電池的工作電流作為系統(tǒng)的輸入。然后，利用蓄電池的工作電壓構(gòu)造系統(tǒng)的觀測方程。

    蓄電池負(fù)載電壓與當(dāng)前時(shí)刻蓄電池的開路電壓(Vcc)之間的關(guān)系是：

    式中：R為蓄電池內(nèi)阻。又由于Vcc和內(nèi)阻都與其SOC有著直接的關(guān)系，故可以使用關(guān)于sk的函數(shù)，得到卡爾曼濾波算法中的觀測方程：

    式中：uk表示k時(shí)刻的電池端電壓，則(7)式和(9)式組成了蓄電池SOC估算的卡爾曼濾波系統(tǒng)。確定(9)式的具體過程將在實(shí)驗(yàn)部分詳細(xì)分析。

    卡爾曼濾波器問題可以描述為：使用觀測量{I1，I2，…，Ik}和{u1，u2，…，uk}找到最優(yōu)的sk估算值。卡爾曼濾波算法采用反饋控制的方法估算過程狀態(tài)：濾波器估算出過程中某一時(shí)刻的狀態(tài)，然后通過測量特定變量的方式獲得反饋。因此卡爾曼濾波器可分為兩個(gè)部分：時(shí)間更新方程和測量更新方程。時(shí)間更新方程負(fù)責(zé)及時(shí)向前推算當(dāng)前狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差估算的值，以便為下一個(gè)時(shí)間狀態(tài)構(gòu)造先驗(yàn)估算。測量更新方程負(fù)責(zé)反饋，它將先驗(yàn)估算和新的測量變量結(jié)合以構(gòu)造改進(jìn)的后驗(yàn)估算。具體算法如參考文獻(xiàn)所示。

    3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

    為考察前文提及的蓄電池SOC估算方法的可行性和有效性，本文以某同產(chǎn)6 V／4.5 Ah鉛酸蓄電池為例建立SOC估算模型，并分析該模型的估算精度。試驗(yàn)通過可編程電子負(fù)載完成測試流程，通過高精度采集設(shè)備獲得待分析數(shù)據(jù)。

    3.1 確定電化學(xué)安時(shí)模型參數(shù)

    首先，通過一系列恒流放電數(shù)據(jù)確定電化學(xué)安時(shí)模型的內(nèi)部參數(shù)。利用0.2、1、2、3 A四組恒流放電數(shù)據(jù)，如表1中黑體所示，采用最小二乘法計(jì)箅得到α、β參數(shù)值。電池始終從充滿狀態(tài)開始放電，蓄電池輸出電壓衰減到5.4 V作為放電截止條件。

    經(jīng)計(jì)算得到：α=4.007、β=2.115，為了驗(yàn)證模型的有效性，將如表1所示8組時(shí)間數(shù)據(jù)輸入到(6)式，計(jì)算出估算的放電電流值。從表1的實(shí)際值與估算值之間的比較可以看出，該模型在恒流放電估算上精度較高。同時(shí)，從獲得的參數(shù)可以看出，該鉛酸蓄電池由于使用或者制造工藝問題，名義容量已經(jīng)衰落為 4.007 Ah。

    3.2 確定閉環(huán)估算中的觀測方程

    根據(jù)前面分析，為實(shí)現(xiàn)卡爾曼濾波算法，必須得到如(9)式所示觀測方程。考慮到蓄電池的開路電壓和SOC的關(guān)系以及內(nèi)阻和SOC的關(guān)系均可以使用多項(xiàng)式近似方法獲得，本文分別使用涓流放電和大電流間歇發(fā)電實(shí)驗(yàn)得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，再通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用多項(xiàng)式近似得到具體的函數(shù)表達(dá)式。

    首先，通過涓流放電實(shí)驗(yàn)得到式中開路電壓和SOC的關(guān)系曲線。蓄電池從充滿狀態(tài)，在C／20(0.2 A)放電電流下，持續(xù)到放電截止，記錄電壓曲線如圖1所示。涓流持續(xù)放電的目的是為了最小化蓄電池的動(dòng)態(tài)效應(yīng)，有效消除蓄電池內(nèi)部的化學(xué)滯后和蓄電池內(nèi)阻的影響，從而得到Vcc和SOC的天系曲線。該曲線經(jīng)過多項(xiàng)式近似，得到如表2所示Voc(Sk)函數(shù)表達(dá)式。

    然后，大電流間歇放電實(shí)驗(yàn)得到內(nèi)阻和SOC的關(guān)系曲線。放電循環(huán)執(zhí)行如下流程：(1)10 min 2 A放電；(2)10 min停止放電，得到蓄電池負(fù)載電壓如圖2所示。同時(shí)圖2也給出了依據(jù)放電數(shù)據(jù)計(jì)算出的蓄電池內(nèi)阻曲線。表2列出了R(sk)函數(shù)表達(dá)式。與實(shí)際蓄電池內(nèi)阻比較，實(shí)驗(yàn)所得內(nèi)阻數(shù)值偏大，其主要原因是將測量和放電連接單元的電阻也視為內(nèi)阻。由于所有數(shù)據(jù)均采集于同一實(shí)驗(yàn)，這樣處理并不會(huì)對實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生影響。

    3.3 開環(huán)估算性能

    為證明(7)式遞推估算模型在變電流放電過程中的SOC估算有效性，使用如圖3所示的變電流放電試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，圖中給出了放電電流曲線和估算的SOC曲線。經(jīng)(7)式遞推計(jì)算得到，放電應(yīng)該終止于4 608 s=76.8 min時(shí)刻，而實(shí)際放電試驗(yàn)中，放電終止于5 004 s=83.4 min時(shí)刻，估算相對誤差為8.59％。為減小計(jì)算量，遞推過程中(7)式被截?cái)嘤趍=5。

    3.4 閉環(huán)估算性能

    在引入反饋后，反饋將對原開環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生影響。為分析反饋帶來的影響，依然采用圖3所示放電過程，利用閉環(huán)估算模型估算SOC數(shù)值，得到估算曲線如圖4所示。作為對照，圖4同時(shí)給出了開環(huán)估算曲線。閉環(huán)估算過程相對于開環(huán)估算，其平均絕對誤差為2.020 1％、均方根誤差為2.364 5％。結(jié)果表明閉環(huán)系統(tǒng)對原開環(huán)系統(tǒng)的影響很小。同時(shí)，也證明了上文得到觀測方程方法的有效性。

    為了體現(xiàn)閉環(huán)反饋的實(shí)際應(yīng)用意義，調(diào)整開環(huán)估算中由于測量偏差導(dǎo)致的估算誤差。住電流測量過程中，人為的加入了均值為0.5、方差為1的測量偏差，使用開環(huán)估算和閉環(huán)估算分別得到曲線如圖5所示。圖中作為參照的真實(shí)SOC曲線是無測量偏差情況下得到的開環(huán)估算曲線。此時(shí)的閉環(huán)反饋估算的平均絕對誤差為 2.430 4％，均方根誤差為2.742 5％，依然保證了較高的估算精度，而開環(huán)估算完全偏離了實(shí)際值。相比文獻(xiàn)中的模型，本文的閉環(huán)模型需要確定的參數(shù)少，對于蓄電池電路模型的依賴性低，運(yùn)算過程簡沽，不需要復(fù)雜的矩陣運(yùn)算。使用三種估算方法對上述含有噪聲的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析估計(jì)，得到如圖6所示絕對誤差曲線。

    4 結(jié)論

    使用基于電化學(xué)理論的電化學(xué)安時(shí)模型，實(shí)現(xiàn)對蓄電池SOC的在線估算，并針對電化學(xué)安時(shí)模型開環(huán)估算的特性，構(gòu)造卡爾曼濾波器算法的閉環(huán)系統(tǒng)，以減小測量偏差對估算精度的影響。實(shí)驗(yàn)表明：

    (1)基于電化學(xué)理論的蓄電池動(dòng)態(tài)模型可以用于有效的蓄電池實(shí)時(shí)SOC估算。

    (2)將閉環(huán)反饋計(jì)算引人開環(huán)的安時(shí)估算中，對原開環(huán)估算精度沒有影響，且可以有效地修正由測量偏差引起的估算誤差。

    (3)通過涓流放電和大電流間歇放電獲取試驗(yàn)數(shù)據(jù)和多項(xiàng)式近似的方式得到觀測方程，可以有效地應(yīng)用于卡爾曼濾波器閉環(huán)反饋計(jì)算。